Оригинал текста представлен на сайте Математического факультета, Университета Темпл (автор Dan Reich).

Последовательность Фибоначчи имеет определенный числовой образец, который возник как ответ на упражнение в самом первом алгебраическом тексте в высшей школе. Эта модель оказалась интересной и её значение выходит за пределы того, что представлял её создатель. Она может быть использована как модель или описание невероятного количества феноменов в математике и науке, искусстве и природе.  Математические идеи последовательности Фибоначчи дали миру, к примеру, понятие золотого сечения, спиралей и самоподобных кривых, и это всё уже давно ценится за их очарование и красоту, но никто так и не может объяснить, почему они так явно переплетаются в мире искусства и природы.

История началась в Пизе, Италия 1202 год. Леонардо Пизано Биголло был молодым человеком в возрасте двадцати лет, членом одной важной семьи торговцев в Пизе. В своих путешествиях по Ближнему Востоку он был очарован математическими идеями, которые пришли на запад из Индии через арабские страны. Когда он вернулся в Пищу, он опубликовал свои идеи в книге по математике под названием Книга Абака, которая стала поворотной вехой в Европе. Леонардо, которого с тех пор знают под именем Фибоначчи, стал самым знаменитым математиком средневековья.  Его книга открывала математические методы в торговле, но сейчас вспоминается, в основном, благодаря двум моментам. Один из них был явно важен в те времена, а второй казался незначительным.

Важный факт: он донес до внимания Европы индуистскую систему написания чисел. Европейские торговцы и ученые все еще цеплялись за использование старых римских цифр;  современная математика была бы невозможна без этого изменения на индуистскую систему, которую мы сейчас называем арабскими цифрами, так как эта система пришла на запад через арабские земли.

Другой интересный факт: в списке головоломок Фибоначчи стоит такой вопрос:

Если пара кроликов размещены в закрытом пространстве, сколько кроликов родится там, если мы допустим, что каждый месяц пара кроликов производит на свет еще одну пару, а кролики начинают приносить приплод через несколько месяцев после рождения?

Этот, на первый взгляд, простой вопрос имеет как ответ определённое количество чисел, ныне известное как последовательность Фибоначчи, одна из самых интереснейших за всё время. Она была заново открыта в невероятном разнообразии форм в областях математики, далеко за пределами простой арифметики. Ее метод развития привел к далекогрядущим приложениям в области математики и информатики.

Но еще более удивительным является появление чисел Фибоначчи и их относительных коэффициентов, далеких от логической структуры математики: в природе и искусстве, в классических теориях красоты и пропорциях.

Рассмотрим самый простой пример геометрического возрастания – бесполого размножения, как, например, у амебы. Каждый организм распадается на два после интервала времени созревания, характерного для определенного вида. Этот интервал меняется случайным образом, но в рамках некоего диапазона соответственно внешним условиям, таким как температура, наличие полезных веществ и так далее. Мы можем представить себе упрощенную модель, в которой при идеальных условиях, все амёбы распадаются после периода взросления.

Так, одна амёба становится двумя, две становятся четырьмя, потом 8, 16, 32 и так далее.

Мы получаем последовательность удвоения. Обратите внимание на рекурсивную формулу:

  • An =2An

Это, обычно, приводит к экспоненциальному росту, одной из характерных картин роста населения.

Теперь, в ситуации кролика Фибоначчи, есть фактор задержки; каждой паре необходимо какое-то время, чтобы вырасти. Таким образом, мы допускаем

  • время дозревания  = 1 месяц
  • время беременности = 1 месяц

Тут мы видим, что каждое поколение остаётся в рамках следующего и, помимо этого, каждая взрослая пара вносит пару детей. Число таких детских пар соответствует общему числу пар в предыдущем поколении. Символично

  • fn = количество пар во время месяца  n
  • fn = fn-1 + fn-2

Таким образом, мы получаем рекуррентную формулу, где каждое поколение определяется в терминах двух предыдущих поколений. Используя этот подход, мы можем последовательно вычислить  fn нужного количества поколений.

Таким образом, эта последовательность чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,.. и рекурсивный способ построения до бесконечности есть решением головоломки Фибоначчи. Ничего сам Фибоначчи не могу предусмотреть, так это бесчисленного количества дополнительных задач, которые эти цифры и сам метод содержит в себе.

Его идея была более плодотворной, чем его кролики. Только лишь с точки зрения чистой математики – теории чисел, геометрии и так далее – сфера распространения его идеи была настолько масштабна, что целый профессиональный журнал был посвящен ему, Фибоначчи, ежеквартально.

Теперь давайте рассмотрим другую достаточно природную ситуацию, когда та же самая последовательность  «мистически» появляется. Возвращайтесь на 350 лет до 17-го столетия во Францию.

Блез Паскаль, молодой француз, учёный, который разрывается между геометрией и математикой и любовью к религии и теологии.  В одном из своих более мирских моментов он консультировался с одним профессиональным азартным игроком Шевальеде Мере Антуаном Гомбо. Шевалье задал Паскалю несколько вопросов про игру в кости и карты, а еще о правильном разделе выигрыша в незавершенной игре. Ответом Паскаля было изобретение абсолютно новой ветви математики, теории относительности. За эти годы, теория выросла в важный для науки, в том числе социальной, инструмент 20-го столетия. Его работа в большей степени опирается на набор чисел и теперь называется треугольником Паскаля.

Эта конфигурация имеет множество интересных и важных свойств:

  • Обратите внимание на лево-правую симметрию – это его собственное зеркальное отображение.
  • Обратите внимание на то, что в каждом рядке второе число подсчитывает ряды.
  • Обратите внимание на то, что в каждом ряду, 2-й+3-й подсчитывают количество чисел выше этой линии.

Есть бесконечные вариации на эту тему.

Далее обратите внимание на то, что происходит, когда мы складываем числа в каждом ряде – мы получаем нашу удвоенную последовательность.

Теперь для удобства визуального восприятия нарисуем треугольник, выровненный по левому краю. Сложите цифры разных диагоналей…

И мы получаем  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… последовательность Фибоначчи!

Фибоначчи не мог знать про эту связь между его кроликами и теорией вероятностей – теории не существовало ее 400 лет после его открытия.

Что действительно интересно в последовательности Фибоначчи, так это то, что его модель возрастания каким-то таинственным образом соответствует силам сдерживания роста огромного количества природных динамических систем. Абсолютно аналогично воссозданию кроликов, давайте рассмотрим родовое дерево пчелы – так мы смотрим на предков, а не на потомков. В упрощённой репродуктивной модели самец пчелы вылупливается из неоплодотворенного яйца, а потому у него есть только один из родителей, в то время как самка вылупливается из оплодотворенного яйца и имеет двух родителей. 

Обратите внимание на то, что оно выглядит, как график кролика, но в обратном времени. Самцы предков в каждом поколении создают последовательность Фибоначчи, как в целом это делают предки по женской линии. По дереву вы можете увидеть, что в обществе пчёл доминируют самки.

Самые известные и самые красивые примеры появления последовательности Фибоначчи в природе встречаются в разных цветах и деревьях, как правило, связанных с какой-то спиральной структурой. Например, листья на стебле цветка или ветки дерева что растет по-спирали, по цепи спиралей, которые новые листья создают дальше.  Представьте: у вас в руке ветка. Сосредоточьте внимание на её листьях и начните их считать. Посчитайте листья, а также количество витков вокруг ветки, пока не вернётесь в положение, соответствующее первому по счету листику, но по спирали дальше, чем первый виток. Оба номера будут числами Фибоначчи.

Например, для грушевого дерева 8 будет число листьев и  3 число витков. Вот еще несколько примеров:

Ответвления семьи Фибоначчи

Дерево     Листочки Витки

Вяз             2      1

Вишня               3      2

Бук             3      1

Тополь               5      2

Плакучая ива 8       3

Груша              8       3

Мигдаль 13       8

Вы можете прогуляться по парку и отыскать эту схему на растений и кустах достаточно легко.

Множество цветов предлагают прекрасное подтверждение мистики Фибоначчи. Маргаритка имеет центральное ядро, которое складывается из крошечных цветочков, расположенных в противоположных спиралях. Как правило, 21 собирается слева и 34 справа. Астра может иметь 13 спиралей слева и 21 справа. Подсолнух является ярчайшим примером; у него 55 спиралей в одну сторону и 89 в другую, а у лучших сортов 89 и 144.

Сосновые шишки также строятся по спирали, маленькие обычно имеют 8 спиралей в одну сторону и 13 в другую.  Интереснее всего то, что ананас, который состоит из смежных шестиугольников, имеет три вида спирали в трёх измерениях. Есть 8 вправо, 13 влево и 21 по вертикали – в тройной последовательности Фибоначчи.

Почему так происходит? Почему матушка природа нашла эволюционно преимущество в организации растительных структур в виде спиральных форм последовательности Фибоначчи?

Четкого ответа на этот вопрос у нас нет. В 1875 году математик Визнер продемонстрировал математическую схему того, как спиральное расположение листьев на ветке в пропорциях Фибоначчи было эффективным способом собрать максимальное количество  солнечного света благодаря нескольким листочкам – он утверждал, что это наилучший способ. Но в последнее время профессор ботаники по фамилии Корнельский из университета имени Карла Никласа решил проверить эту гипотезу в своей лаборатории; он обнаружил, что практически любое рациональное расположение листьев имеет ту же самую способность поглощать солнечный свет. Поэтому, мы всё ещё не слишком уверены насчёт света.

Но если мы рассмотрим этот вопрос с точки зрения природных моделей роста, я думаю, мы сможем начать понимать наличие спиралей и связь между ними и последовательностью Фибоначчи.

Спирали возникают из свойства роста, что называется самоподобным масштабированием – тенденцией до разрастания в размерах, но с поддержанием той же формы. Не все микроорганизмы растут по этой схеме. Мы видели, как взрослые люди не являются более крупной копией детей в масштабе: у детей большие головы, короткие ноги и более длинный торс относительно всего роста.

Но если мы посмотрим на оболочку моллюска, мы увидим измененную модель возрастания. По мере того, как моллюск наращивает новый слой, он создает новые части себя, всегда той же самой формы – если представить себе очень долгоживущего моллюска, их оболочка будет создавать спираль по кругу, расширяться, но на каждом уровне будет выглядеть одинаково.

Вот, где возникает Фибоначчи – мы можем построить огромного моллюска, начиная с размера 1, последовательно создавать новые размеры, в соответствии с последовательностью Фибоначчи.

Запуск через центр с гладкой кривой даст нам спираль моллюска = подсолнуха по спирали.

Это особая спираль – содель кривой, которая сохраняет форму на всех уровнях ( если представить, что она бесконечна).  Её называют равноугольной, поскольку радиальная линия от центра всегда создает один и тот же угол кривой. Эта кривая была известна Архимеду в древней Греции, самому великому геометру всех времён.

Мы действительно должны думать об этой кривой как о спирали внутрь до бесконечности, также, как и наружу. Это сделать непросто; вы можете визуализировать циркуляцию воды вокруг крошечного сливного отверстия, который по спирали приближается к центру, но никогда не падает всередину. Этот эффект иллюстрируется классической загадкой:

Четыре жука стоят на четырёх углах квадрата. Они голодные (или одинокие) и в то же время каждый из них видит жука видит жука в другом углу и начинает ползти к нему. Что произойдет?

Картина рассказывает историю, как они ползут навстречу к друг другу по спирали в центр, постоянно создавая всё более маленькую площадь, вращаясь вокруг. И всё же они настигают друг друга! Это не парадокс, потому что длина этой спирали конечна. Они прослеживают ту же логарифмическую спираль.

Теперь, поскольку все спирали самоподобны, они выглядят одинаково в любом масштабе – масштаб не имеет значения. Важно, что эти спирали имеют фиксированную часть, определяющую их форму. Оказывается, что эта часть такая же, как пропорции последовательных записей Фибоначчи: 5:3, 8:5,13:8 и так далее. 

Пропорции Фибоначчи

По ходу того, как мы двигаемся дальше в последовательности, пропорции смежных терминов начинают приближаться к фиксированному граничному значению 1.618034… Это очень известное соотношение с долгой и уважаемой историей; золотая середин Эвклида и Аристотеля, божественная пропорция да Винчи считаются наикрасивейшими и наиважнешими понятиями. Это число имеет более интригующие свойства, чем Вы можете представить.

Путем простых вычислений мы видим, что если отнять 1, мы получим .618.. Если мы прибавим 1, мы получим 2.618… его площадь.

Используя эту золотую пропорцию за основу, мы можем построить чёткую формулу для чисел Фибоначчи.

Но у греков была своя визуальная точка зрения касательно золотой середины. Они задавали вопрос: какой самый природный и наиболее пропорционально выраженный способ разделить линию на две части? Они назвали это разделением. Греки четко понимали, что идеал должен соответствовать пропорциям между частным и целым. Это даёт точную пропорцию f.

Формирование прямоугольника с секциями линий придает визуально приятную форму, которая стала основой искусства и архитектуры. Эта эстетичная форма была принята выдающимися художниками эпохи Возрождения в живописи, и она всё ещё остаётся с нами сегодня.

Формування прямокутника з секціями лінії як сторонами надає візуально приємної форми, яка стала основою мистецтва й архітектури. Ця естетична форма була прийнята визначними художниками епохи Відродження в живописі, і вона все ще залишається з нами сьогодні.

Dan Reich (Ден Райх)

Математический факультет, Университет Темпл