Оригінал тексту під авторством Jeff Moehlis доступний за посиланням.

Фільм «21» це історія студентів МТІ (Массачусетський технологічний інститут), які «зчитували карти», щоб збільшити вірогідність свого виграшу у казино граючи в Блекджек. Недивно, що у цьому фільмі майже всі математики. Найбільш очевидним являється «підрахунок карт», який заснований на методах, що був опублікований в книзі «Удар Дилера» Едварда Торпа, 1962 року. Обговорення методу і математики «підрахунку карт» детально описані на інших різноманітних сайтах. На цьому ж сайті, ви зможете дізнатися про деякі математичні ідеї, які теж згадуються у фільмі. Я сподіваюсь, що це збільшить не лише ваше задоволення від перегляду фільму, але і бажання вчити математику!

Послідовність Фібонначі

В фільмі «21», коли Бен Кемпбел (грає Джим Стерджесс) святкую своє день народження, торт каже:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Це перші терміни із послідовності Фібонначі, котрі були використані в якості прикладу в книзі «Книга Абака», що була опублікована в 1202 році Леонардо Фібонначі. Виходить, що спочатку записувалися числа «0, 1», а потім вираховувалося кожне наступне число як сума двох попередніх чисел із цієї серії. Таким чином, третій номер в цій серії 1 = 1+0, четвертий номер 2 = 1+1, п’ятий номер 3 = 2+1 і т.д. Наступний номер на торті буде 21 = 13+8, до 21-го Дня народження Бена. Розумно, чи не так? (хммм, «21» пов’язане з Блекджеком чи віком Бена). Бену доведеться почекати, поки він не досягне 34 = 21+13 для свого наступного «дня народження Фібонначі».

Можна виявити інші послідовності Фібоначчі, вказавши різні числа в перших двох позиціях. Наприклад, послідовність Фібонначі, що починається з «2, 5», являється:

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, …

Проблема Монті Холла

Розглянемо наступну варіацію фінального раунду класичного телевізійного ігрового шоу «Давайте поб’ємось обзаклад»:

Є троє дверей, і за одними із них – автомобіль, а за вдома іншими – кози. Якщо ви оберете одні двері з автомобілем позаду них, то виграєте автомобіль. Тепер скажіть, що ви обираєте двері 1. Потім господар Монті Холла відкриє або двері 2, або двері 3, за якими знаходиться коза. (Він знає, що знаходиться за кожними дверима, і ніколи не відкриває двері, за якими знаходиться автомобіль). Монті тепер дає вам вибір: ви можете триматися дверей 1, або ж перелаштуватися до інших дверех. Що ви маєте робити? І чи має це взагалі вже якесь значення?

Аналогічне питання ставиться і Бену Кемпбелу (грає Джим Стерджесс) професором Міккі Розою (грає Кевін Спейсі) в фільмі «21». Без вагань Бен відповідає на це запитання вірно, що переконує професора Розу в тому, що Бен буде являтися чудовим доповненням до їхньої «команди зчитування карт». Перед тим як читати далі, спробуйте дати відповідь на це питання самостійно.

Хтось вирішує цю проблему, порівнюючи вірогідність вибору автомобіля, якщо ви тримаєтеся вашого початкового вибору автомобіля, якщо ви зміните своє рішення після того, як Монті відриє одні двері. Зверніть увагу, що автомобіль має рівну вірогідність того, що 1/3 знаходиться за дверима 1,2 і 3.

По-перше, припустимо, що ваша стратегія полягає в тому, щоб притримуєтесь вашого початкового вибору, а саме двері 1. Тоді ви виграєте тільки тоді, якщо автомобіль і справді знаходиться за дверима 1. Тобто, вірогідність вашого виграшу складає 1/3.

Далі, припустимо, що ваша стратегія полягає в тому, щоб змінити двері. Тут потрібно розібрати три моменти:

  • Якщо автомобіль знаходиться за дверима 1, Монті відкриє двері 2 і 3, щоб відкрити для вас козу. Ви перелаштовуєтесь на двері 2 чи двері 3, і в будь-якому разі ви переходите до дверей за якими знаходяться кози (пам’ятайте, що автомобіль знаходиться за дверима 1).
  • Якщо автомобіль знаходиться за дверима 2, Монті відкриє двері  3. Це тому, що він завжди відкриває двері, за якими знаходиться коза, і звичайно він не може вам відкрити двері 1, тому що це був ваш початковий вибір. Виходить, що ви можете перейти до дверей 2, за якими знаходиться автомобіль. Бінго! Ти переміг!
  • Якщо автомобіль знаходиться за дверима 3, Монті відкриє двері 2. Це тому, що він завжди відкриває двері, за якими знаходиться коза, і він не може відкрити вам двері 1, тому що це був ваш початковий вибір. Виходить, що ви можете перейти до дверей 3, за якими знаходиться автомобіль. Бінго! Ти переміг!

Саме тому, якщо ваша стратегія полягає в тому, щоб перейти від одних дверей до інших, ви виграєте 2/3 = 1/3 + 1/3 часу. (пам’ятайте, вірогідність 1/3, що автомобіль знаходиться за будь-якими конкретними дверима). Таким чином, найкраща стратегія полягає в зміненні дверей – розраховані вірогідності вказують на те, що ви маєте в два рази більше шансів виграти, якщо зробите саме так. Правильна відповідь Бена у фільму «21» вказує на те, що він саме та людина, котра потрібна для «зчитування карт». Це показує не лише той факт, що він розумний, але і демонструє факт його розуміння, що краще йти далі з вибором, який дає тобі максимальні шанси на перемогу. Розуміння цього має важливе значення для успіху «зчитування карт» у грі Блекджек.

В 1990 році аналогічне питання з’явилося в листі у колонці «Запитайте Мерілін», котру вела Мерілін вос Савант, в секції «Парад» (її можна було знайти в деяких недільних гахетах). Мерілін дала правильну відповідь, але багато читачів (в тому числі і професори математики) вважали, що відповідь була неправильною. Так що, ви не сильно переймайтеся, якщо ви також дали невірну відповідь, коли відповідали на це питання самі. Але ж тепер ви все знаєте!

Метод Ньютона-Рафсона

Із класу алгебри можна згадати, що рівняння

Задається квадратною формулою

Уявімо, що замість цього ви хочете знайти значення для х, котре вирішує загальне алгебраїчне рівняння f(x) = 0.

Таке значення для х називається коренем f(x). За винятком спеціальних варіантів f(x), таких як f (x) = a x2 + b x + c, як зазначено вище, неможна знайти корінь за допомогою алгебраїчних операцій.

В фільму «21» професор Міккі Роза ( у виконанні Кевіна Спейсі) читає лекцію про метод Ньютона-Рофсона для находження коренів f(x). Це було розроблено безпосередньо Ісааком Ньотоном і Джозефом Рафсоном в 1600-х роках. Ідея полягає в тому, що для того аби зробити припущення для кореня рівняння (назвемо його х0) і потім використати це припущення для створення значення х (назвемо його х1), котре (сподіваюсь) буде ще ближче до кореня, ніж початкове припущення. Це робиться шляхом малювання дотичної функції f(x) при x=x0 і взяття до уваги х1 в значенні для х, при якому ця пряма лінія проходить через нуль. (Для тих із нас, хто знається на вимірюваннях, зрозуміє, що ця дотична лінія визначається похідною f(x). Повторюючи цю процедуру знову і знову, щоб генерувати х2, х3, і т.д., один (сподіваюсь) отримує значення, котрі все краще і краще приближують до кореня. Я продовжую говорити «сподіваюсь», тому що метод Ньотона-Рафсона не завжди успішний, хоча це , скоріше за все, буде тільки якщо ви зробити хороший початковий вибір. Цей малюнок ілюструє цей метод:

Цей метод був розроблений задовго до того, як існували комп’ютери, але виявився ідеальним для реалізації на комп’ютері: використовують цей цикл для генерації послідовних значень xn.

Підрахунок карт

Хороше обговорення про «підрахунку карт» для гри у Блекджек, ви зможете знайти у цій Вікіпедія статті.