Оригинал статьи представлен на сайте http://www.unf.edu/~ddreibel/research/sphere.html под авторством Daniel Dreibelbis.

В касательной (bitangency) погружного S с замкнутой поверхности M в R4 представляет собой пары точек (Р, Q) такая, что S(р) не равно s(q), а отрезок протянут между (p) и S(q) лежит в касательной плоскости S на P, и касательной плоскости S на Q. Для поверхности в четвертом пространство, мы рассчитываем конечное число bitangencies.

Снимки имеют проекцию погружения сферы в четыре пространства, заданную картой:

(x, y, z) -> (x, y, x2 + xz, yz)

где x2 + y2 + z2 = 1. На этих снимках мы проецируем вниз первую ось.

Это погружение пересекает себя ровно один раз, а именно, когда (x, y, z) равно (0, 0, 1) и (0, 0, -1). Окраски поверхности пропорциональна значению X (т. е. высота поверхности в первом направлении оси), так что вы можете сказать, что есть двойная точка, по середине двойная кривая (это кривая, на самом деле охватывает четыре раза, как можно заключить из окантованные картины), эта поверхность также имеет четыре касательные, две из которых представлены черными линиями, две из которых с двойной щипок моменты, происходящие на обоих концах средней двойной кривой.

Один из вопросов, который мы можем задать, — это связь между касательными поверхности в четырех пространствах и битангенциями ее проекции вниз в три пространства. Любая касательная в четвертом пространстве должна проектироваться в пространстве 3, и будет частью двухмерного комплекта касательных. Чтобы определить, является ли пара точек (p, q) касательной поверхности в четырех пространствах, мы должны спроецировать поверхность вниз по двум векторам, так что плоскость, натянутая этими двумя векторами, стала поперечной касательным плоскостям в p и q. Если обе спроецированные поверхности имеют касательные между p и q, то (p, q) — это касательные поверхности в четырех пространствах. Кроме того, если нам посчастливится спроецировать вниз секущую линию битангенции, то одно из касательных направлений в каждой точке разрушится, и на проецируемой поверхности будут точки сжатия как в p, так и в q. Кроме того, эти точки сжатия будут происходить в одной и той же точке в трех пространствах. Поэтому, если наша проецируемая поверхность имеет две точки сжатия в одном и том же месте, то соответствующая пара точек является bitangency. В этом случае нам нужна только одна проекция, чтобы найти битагенцию. Наша проецируемая поверхность имеет две из этих двойных точек сжатия.